Fraktale stochastische Integralgleichungen im White-Noise-Kalkül

Abstract

In dieser Arbeit wird zunächst eine lineare stochastische Integralgleichung, welche sowohl ein Integral mit fraktaler Brownscher Bewegung als auch ein Integral mit kompensiertem Poisson-Zufallsmaß beinhaltet, untersucht und die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung bewiesen. Für einen Spezialfall dieser Gleichung werden anschließend Methoden zur Parameterschätzung eingeführt und deren Erwartungstreue und Konsistenz nachgewiesen. Anschließend wird eine inhomogene stochastische Integralgleichung untersucht, welche sowohl Terme mit fraktaler Brownscher Bewegung als auch Terme mit fraktalem kompensiertem Poisson-Zufallsmaß berücksichtigt. Nach dem Beweis der Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung werden für ein fraktales Ornstein-Uhlenbeck-Modell mit Mean-Reversion-Anteil Methoden zur Parameterschätzung eingeführt und ihre Konsistenzeigenschaften nachgewiesen. Die Ergebnisse werden mittels Simulationsuntersuchungen veranschaulicht.

At first in this thesis a linear stochastic integral equation is studied, which includes an integral with respect to a fractional Brownian motion as well as an integral with respect to a compensated Poisson random measure. The existence and uniqueness of a solution are proven. For a special case methods of parameter estimations are introduced and the unbiasedness and consistency are proven. Subsequently an inhomogenous stochastic integral equation is studied, which includes terms with respect to a fractional Brownian motion and terms with respect to a fractional compensated Poisson random measure. The existence and uniqueness of a solution are proven. Methods for parameter estimations in a fractional Ornstein-Uhlenbeck model with a mean reversion part are discussed and properties of consistency are proven.