On generalized-convex constrained multi-objective optimization and application in location theory

Abstract

Diese Arbeit untersucht mehrkriterielle Optimierungsprobleme, bei denen nicht notwendigerweise konvexe Restriktionen in der Problemstellung berücksichtigt werden. Die vektorwertige Zielfunktion bildet von einem reellen linearen topologischen Raum in einen endlich dimensionalen Euklidischen Raum ab und wird als verallgemeinert konvex vorausgesetzt. Durch Nutzung eines neuartigen vektoriellen Bestrafungsansatzes wird gezeigt, dass die Pareto-effiziente Lösungsmenge der originalen Aufgabe mit Hilfe von Paretoeffizienten Lösungsmengen von zwei verwandten mehrkriteriellen Optimierungsproblemen, bei denen der zulässige Bereich eine konvexe Obermenge des originalen zulässigen Bereichs ist, berechnet werden kann. Insbesondere kann dieser zulässige Bereich der gesamte Raum sein. Damit ist es möglich, effektive Methoden für unrestringierte Probleme bei der Lösung der restringierten Aufgabe einzusetzen. Der Bestrafungsansatz wird auf spezielle nichtkonvexe mehrkriterielle Optimierungsprobleme angewendet. Für ein nichtkonvexes Standortproblem wird eine vollständige geometrische Beschreibung der Lösungsmenge angegeben.

This thesis is concerned with multi-objective optimization problems involving not necessarily convex constraints and componentwise generalized-convex vector-valued objective functions that are acting between a real linear topological pre-image space and a finite dimensional image space. By employing a new vectorial penalization approach, it is shown that the set of Pareto efficient solutions can be computed completely by using two related multi-objective optimization problems with a new feasible set that is a convex upper set of the original feasible set. Especially, this feasible set could be the whole pre-image space such that the constrained problem can be solved by computing the sets of solutions to two unconstrained problems. Then, effective methods for solving unconstrained problems can be used. Furthermore, the penalization approach is applied to special classes of nonconvex constrained multi-objective optimization problems. In particular, the importance of the derived results are emphasized by providing a complete geometrical description for the set of Pareto efficient solutions of a special nonconvex multi-objective location problem.