Aspects of damping oprimization in vibrational systems using model order reduction

Abstract

When constructing infrastructures like buildings or bridges, we need to consider the in uence of external forces such as wind perturbations, moving pedestrians, or even earthquakes. These forces can cause vibrations or damage within the structure. With advancements in engineering making structures lighter and more re ned, they have be come more susceptible to large de ections and fatigue when external forces, especially those close to the structure's natural eigenfrequencies, come into play. To prevent these effects, we include external dampers in the system structure. In this thesis, we aim to find the best way to position and adjust these dampers so they can absorb the most critical forces. We use models to describe the respective constructions and to compute the system responses, such as changes in the system behavior with applied external damping. How ever, when constructions are described in detail, the respective models are of high dimension. Therefore, evaluating the system's behavior or optimizing dampers within them becomes numerically very demanding. Hence, we derive and apply di erent reduction methods, depending on the problem settings, generating reduced surrogate models that are evaluated instead of the full-order model. In this work, we consider two problem classes: The first one considers inhomogeneous systems with a given external damper, which require suitable reduction methods. The second challenge is to optimize the external dampers and the respective parameters within a vibrational system, where we also need to derive reduction techniques tailored to parameter-dependent systems. When considering vibrational systems with a given external damper, inhomogeneous initial conditions appear that further define the respective displacements and velocities. Furthermore, linear and quadratic output equations are of interest, while the state equation can have a first- or second-order structure. Moreover, the state equation can include physical constraints, which lead to differential algebraic equations. Most of these system structures are non-standard-forms that have not been discussed in the literature, yet they are relevant. Hence, in this work, we derive algorithms and respective error bounds that determine surrogate models for large-scale systems in a non-standard form. To approach the problem of reducing systems with inhomogeneous initial conditions while considering linear and quadratic output equations, we use the superposition principle, which allows us to decompose the system behavior into independent components. The first component corresponds to the transfer between the input and output having zero initial conditions. In contrast, the others correspond to the system behavior resulting from the initial conditions. Based on this superposition of the system, we propose model reduction schemes that preserve the structure in the surrogate models. To this aim, we introduce tailored Gramians for the different system structures that incorporate the controllability and observability properties of each system component. We propose two resulting methodologies. The first one consists of reducing each of the components independently using a suitable balanced truncation procedure, which allows exibility in the order of the reduced-order models. The sum of these reduced systems provides an approximation of the original system. The second proposed methodology consists in extracting the dominant subspaces from the sum of Gramians to construct one surrogate model. Additionally, we discuss error bounds for the overall output approximation and illustrate the proposed methods using benchmark problems. In addition, this thesis investigates the problem of optimizing dampers in vibrational systems. The aim is to determine the positions and viscosities of external dampers in such a way that the influence of the input on the output is minimized. We use the energy response as an optimization criterion, whose calculation involves solving Lyapunov equations. Hence, the optimization of external dampers can be computationally demanding. Therefore, we derive reduction techniques suitable for parameter-dependent systems that determine surrogate models of significantly smaller dimensions. We describe reduced basis methods that approximate the solution space of the Lyapunov equations, coinciding with the controllability space of the system, for all possible external dampers. To improve these methods, we also decouple the solution spaces of the problem to obtain a space that corresponds to the system without external dampers and serves as a starting point for the reduction of the optimization problem. Furthermore, we derive spaces that correspond to the different damper positions and that are used to extend the reduced basis if necessary. This decomposition additionally provides an error estimator that evaluates the approximation to the controllability space. Moreover, we derive an adaptive scheme that generates the reduced solution space by adding the subspaces of interest during the optimization process, resulting in the corresponding reduced optimization problem. Our new technique leads to a reduced optimization problem with a signi cantly smaller dimension, which is fast solvable, especially compared to the original system, which we illustrate with numerical examples.

Beim Bau von Infrastruktur wie Gebäuden oder Brücken müssen wir den Einfluss äußerer Kräfte durch Fußgänger, Windereignisse oder sogar Erdbeben berücksichtigen. Diese Kräfte können Vibrationen oder Schäden innerhalb der Struktur verursachen. Durch die Fortschritte in der Technik sind die Bauwerke leichter geworden, aber sie sind auch anfälliger für starke Auslenkungen und Ermüdung der Strukturen, wenn äußere Kräfte wirken, insbesondere, wenn diese nahe an den natürlichen Eigenfrequenzen des Bauwerks liegen. Um diese Effekte zu verhindern, werden externe Dämpfer in die Systemstruktur eingebaut. In dieser Arbeit wollen wir die Positionen und die Stärke dieser Dämpfer optimieren, damit sie die kritischsten Kräfte abdämpfen können. Wir verwenden Modelle, um die jeweiligen Konstruktionen zu beschreiben und das Systemverhalten und die Änderungen des Systemverhaltens bei angewandter externer Dämpfung zu berechnen. Wenn die Konstruktionen jedoch detailliert beschrieben werden, haben die entsprechenden Modelle sehr große Dimensionen. Daher wird die Auswertung des Systemverhaltens oder die Optimierung von Dämpfern in diesen Modellen numerisch sehr anspruchsvoll. Aus diesem Grund leiten wir verschiedene Reduktionsmethoden her und wenden sie je nach Problemstellung an, um reduzierte Ersatzmodelle zu erzeugen, die anstelle des ursprünglichen Modells ausgewertet werden. Wir betrachten in dieser Arbeit zwei Problemklassen: Die erste betrachtet inhomogene Systeme mit gegebenen externen Dämpfern. Da diese Systeme große Dimensionen haben, leiten wir entsprechende Reduktionsverfahren her. Die zweite Problematik besteht darin, die externen Dämpfer und die entsprechenden Parameter innerhalb eines schwingenden Systems zu optimieren. Auch hier müssen wir Reduktionsverfahren anwenden, die auf parameterabhängige Systeme mit einer bestimmten Struktur zugeschnitten sind. Bei der Betrachtung von schwingenden Systemen mit gegebenen externen Dämpfern spielen auch inhomogene Anfangsbedingungen eine Rolle, da sie die Verschiebungen und Geschwindigkeiten beeinflussen. Außerdem sind lineare und quadratische Ausgangsgleichungen von Interesse, während die Zustandsgleichung eine Differentialgleichung erster oder zweiter Ordnung sein kann. Darüber hinaus kann die Zustandsgleichung physikalische Bedingungen enthalten, die zu differential-algebraischen Gleichungen führen. All diese Systemstrukturen führen zu mehreren Systemtypen, die nicht in Standardform sind und in der Literatur kaum berücksichtigt wurden, aber von großer Bedeutung sind. Daher leiten wir in dieser Arbeit Algorithmen her, welche für große Systeme in Nicht-Standardform reduzierte Modelle bestimmen, die das Systemverhalten approximieren. Um mit inhomogenen Anfangsbedingungen umzugehen und gleichzeitig lineare und quadratische Ausgangsgleichungen zu berücksichtigen, verwenden wir das Superpositionsprinzip. Dies ermöglicht es uns, das Systemverhalten in unabhängige Komponenten zu zerlegen. Das erste System entspricht der Übertragung zwischen dem Eingang und dem Ausgang bei homogenen Ausgangsbedingungen. Die restlichen Komponenten entsprechen dem Systemverhalten unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen. Auf der Grundlage dieser Überlagerung von Systemen ist es unser Ziel, Modellreduktionsverfahren herzuleiten, welche die relevanten Strukturen erhalten. Dafür führen wir maßgeschneiderte Matrizen, sogenannte Gramschen, für jede Systemkomponente ein und berechnen diese numerisch, indem wir die Lyapunov Gleichungen lösen. Daraus resultieren zwei Methoden. Die erste besteht darin, jede der Komponenten unabhängig voneinander durch ein geeignetes balanciertes Trunkierungsverfahren zu reduzieren, was Flexibilität bei den Dimensionen der reduzierten Modelle ermöglicht. Die Summe dieser reduzierten Systeme liefert eine Annäherung an das ursprüngliche System. Die zweite vorgeschlagene Methode besteht darin, die dominanten Unterräume aus der Summe der Gramschen zu extrahieren, um die Projektionsmatrizen zu erstellen, die zu einem Ersatzmodell führen. Darüber hinaus werden Fehlerschranken für die Approximation der Ausgänge diskutiert. Schließlich werden die vorgeschlagenen Methoden anhand von Benchmark-Problemen illustriert. Des Weiteren wird in dieser Arbeit das Problem der Optimierung von Dämpfern in schwingungsfähigen Systemen untersucht. Ziel ist es, die Positionen und Viskositäten von externen Dämpfern so zu bestimmen, dass der Einfluss des Eingangs auf den Ausgang minimiert wird. Als Optimierungskriterium verwenden wir die Energieantwort. Um die optimalen externen Dämpfer zu finden, müssen viele dieser Gleichungen gelöst werden. Daher kann der Minimierungsprozess sehr rechenaufwendig sein. Aus diesem Grund leiten wir Reduktionsverfahren her, um dieses Problem zu lösen. Um den Prozess der Suche nach den optimalen Dämpfern zu beschleunigen, schlagen wir reduzierte-Basen-Methoden vor. Unsere Algorithmen erzeugen eine Basis, die den Lösungsraum der Lyapunov Gleichungen, der mit dem Steuerbarkeitsraum des Systems übereinstimmt, für alle möglichen Positionen der Dämpfer approximiert. Wir entkoppeln die Lösungsräume des Problems, um einen Raum zu erhalten, der dem System ohne externe Dämpfer entspricht und als Ausgangspunkt für die Reduktion des Optimierungsproblems dient. Darüber hinaus leiten wir Räume her, die den verschiedenen Dämpferpositionen entsprechen und bei Bedarf zur Erweiterung der reduzierten Basis verwendet werden. Diese Zerlegung liefert zusätzlich einen Fehlerschätzer, der die Approximation des Steuerbarkeitsraums bewertet. Darüber hinaus leiten wir ein adaptives Schema her, das den reduzierten Lösungsraum durch Hinzufügen der relevanten Unterräume während des Optimierungsprozesses erzeugt, was zu dem entsprechenden reduzierten Optimierungsproblem führt. Unsere neuen Methoden führen zu reduzierten Optimierungsproblemen mit einer deutlich geringeren Dimension, das schneller zu lösen ist als das ursprüngliche Problem, was wir anhand numerischer Beispiele veranschaulichen.