Stochastic evolution equations with Lévy noise and applications to delay equations

Abstract

Diese Arbeit untersucht semilineare stochastische abstrakte Cauchy-Probleme (S-ACP) in Hilberträumen. Das Rauschen wird mittels eines stochastischen Integrals bezüglich eines quadratisch integrierbaren Lévy-Martingals modelliert. Somit deckt das Modell auch stochastische Sprünge ab. Zu Beginn wird gezeigt, dass dieses abstrakte Setting auch den Fall zeitverzögerter Gleichungen beinhaltet. Da es für diese Art von Problem zwingend notwenig ist milde Lösung von (S-ACP) zu betrachten, werden zwei Approximationen der milden Lösung von (S-ACP) mittels einer Folge wohl-definierter Lévy-Prozesse bewiesen. Mit Hilfe dieser Approximationen gelingt es, eine rigorose Transformationsformel (Itô-Formel) für milde Lösungen von (S-ACP) herzuleiten. Um deren Anwendungsmöglichkeiten zu illustrieren, wird ein Filter-Problem betrachtet, welches mit Hilfe der Transformationsformel in ein deterministisches Steuerproblem überführt wird.

In this thesis semilinear stochastic abstract Cauchy (S-ACP) problems in Hilbert spaces are considered. The noise is modeled by a stochastic integral w.r.t. a square-integrable Lévy martingale. Therefore also stochastic jumps are included in the model. At first, it is shown that this abstract setting also includes the case of delay equations. Since those kinds of problems require one to work with mild solutions, two approximations of the mild solution of (S-ACP) via a sequence of well-defined Lévy processes are proven. With the help of those approximations a rigorous transformation formula (Itô formula) for the mild solution of (S-ACP) is deduced. To demonstrate its usefulness a filtering problem is transformed into a deterministic optimal control problem with the help of the transformation formula.