Regularity and integration theory for a class of stochastic processes with applications to parabolic problems

Abstract

Zufällige Ereignisse auf ansonsten deterministische Systeme treten in vielen Bereichen auf. Als Beispiele hierfür seien die Strömungsmechanik und Zinsmodelle in der Finanzmathematik genannt. Zur Beschreibung dieser stochastischen Einflüsse werden häufig Wiener Prozesse verwendet, für welche eine reichhaltige stochastische Analysis vorhanden ist, in vorderster Reihe die stochastischen Integrationskalküle nach Itô, Stratonovič und Skorohod. Diese Herangehensweise ist allerdings nur dann legitim, wenn die zufälligen Störungen zeitlich unabhängig sind und in der Tat haben Studien der jüngeren Vergangenheit gezeigt, dass die Daten in vielen Bereichen, so zum Beispiel in der Hydrologie, der Geophysik, der Atmosphärenverschmutzung, der Bildanalyse und in der Finanzwirtschaft, eine Langzeitabhängigkeit aufweisen. Darüber hinaus wurde nachgewiesen, dass viele Prozesse in der Finanz- und in der 2-D Turbulenztheorie einen hohen Grad an Intermittenz aufweisen. Das ist das Clustering von extremen Werten im Hochfrequenzbereich mit einer gewissen Ordnung. Um diese Eigenschaften berücksichtigen zu können, wurden häufig neue Prozesse definiert, doch mit jedem neuen Prozess stand man vor dem Problem, dass eine vollständige neue stochastische Analysis entwickelt werden musste. Es ist daher wünschenswert eine allgemeine stochastische Analysis für eine zufriedenstellend große Prozessklasse, wie z.B. Prozesse mit stationären Zuwächsen und Spektraldichte zur Verfügung zu haben. Die Entwicklung einer solchen Theorie und deren Anwendung auf parabolische Probleme sind die wesentlichen Leitgedanken der vorliegenden Arbeit.