Set-based methods for interconnected control systems

Abstract

Interconnected systems, such as electrical grids, chemical process plants, CAN-bus systems in modern cars or social networks are becoming even more ubiquitous in our everyday lives. Due to their complexity and size it is often difficult to directly analyze, influence or control their behaviour. For that reason, the complete system with all its interconnections is often split into several interconnected subsystems, which can then be treated in a decentralized or distributed way. A major challenge for the analysis and control of decentralized and distributed systems is the consideration of possible destabilization effects due to the interconnections. In addtion, potential control methods should always handle both disturbance effects as well as physical or logical contraints. Set-based control methods are modern control schemes, in which time invariant sets are characterized in the state space of a system. Those invariant regions are especially well suited for designing robust controllers subject to input or state contraints. So far the existing invariance concepts are not tailored to interconnected systems. Due to the previously mentioned advantages of set–based methods, it is therefore of great interest to extend them to interconnected systems. In order to achieve this goal, we extend the concept of an invariant set to the notion of an invariant family of sets. With this extension, we can link the interconnections effects of several systems to the dynamics of a collection of sets. Using set–dynamics we can indirectly characterize the system theoretic behaviour of the interconnected system in a reduced state space. In particular, we present a scheme for directly constructing this set–dynamics for linear systems, that are connected either via linear or positively, homogeneous functions. In addition, in this work a distributed and decentralized control approach exploiting the notion of invariant family of sets is presented. For the distributed controller design, we show how an iterative process based on the solutions of generalized Matrix-Riccati equations leads to a flexible characterization of a family of invariant sets. This design procedure is especially well suited for increasing the closed loop performance, whenever information about the interconnections may be exchanged via the different subsystems. For the decentralized controller, a procedure based on the solutions of LMI’s is presented. During this decentralized operation no information is exchanged via the subystems and hence a more generally conservative behaviour is achieved. In conclusion, the flexibility and system theoretic properties of the proposed methods based on the notion of invariant families of sets are presented via several simulation examples.

Vernetzte Systeme, wie z.B. Energienetzwerke, chemische Prozessanlagen, PKW CANBus Systeme aber auch soziale Netzwerke sind in unserer heutigen Welt nicht mehr wegzudenken. Durch die Komplexität und Größe dieser Prozesse ist es oft schwierig ihr Verhalten direkt zu analysieren und zu beinflussen. Aus diesem Grund wird meist nicht das gesamte System inklusive der Vernetzungskopplungen zentral betrachtet, sondern deren Teilsysteme in einer dezentralen bzw. verteilten Art und Weise. Eine generelle Herausforderung bei der dezentralen bzw. verteilten systemtheoretischen Analyse und Regelung von verkoppelten Teilsystemen ist es etwaige Destabilisierungseffekte aufgrund der Verkopplungen zu berücksichtigen. Zusätzlich gibt es bei diesen Systemen in der Praxis meist Störeinflüße und physikalische Beschränkungen die kompensiert bzw. eingehalten werden müssen. Mengenbasierte Regelungsmethoden sind moderne Regelungsverfahren, in denen zeitinvariante Mengen im Zustandsraum eines Systems beschrieben werden. Diese invarianten Bereiche eignen sich besonders gut für den Entwurf von robusten Reglern unter Beschränkungen der Systemvariablen verwendet werden. Allerdings sind bisher geläufige Ansätze der Invarianz nicht auf verkoppelte Systeme ausgelegt. Aufgrund der Vorteile der mengebasierten Regelung ist es von Interesse diese Methoden auf verkoppelte Systeme zu erweitern. Hierzu wird in dieser Arbeit der Begriff der invarianten Menge erweitert und das Konzept der invarianten Familie von Mengen eingeführt. Diese Erweiterung erlaubt es die Verkopplungseigenschaften mehrer Teilsysteme auf eine Dynamik von Mengen abzubilden. Durch diese Abbildung ist es möglich die anfänglich hohe Systemordnung der vernetzten Teilsysteme zu reduzieren und deren systemtheoretisches Verhalten anhand dieser Dynamik zu charakterisieren. Desweiteren wird gezeigt wie diese Dynamik von Mengen für lineare und positiv, homogen verkoppelte Systeme konstruiert werden kann. Weiterhin wird in in dieser Arbeit aufgezeigt wie die invarianten Familien von Mengen für den verteilten und dezentralen Reglerentwurf verwendet werden können. Für den Entwurf der verteilten Reglerstrategie wird ein iterativer Prozess basierend auf der entkoppelten Lösung von erweiterten Matrix-Riccati Gleichungen vorgestellt. Dieser Entwurf bietet sich dann an, wenn es möglich ist Informationen über die Verkopplungen zwischen den Systemen auszutauschen, um ein besseres Systemverhalten zu erzielen. Die dezentrale Regelungsstrategie basiert auf der Lösung von Linearen Matrixungleichungen und bietet sich dann an, wenn es nicht möglich ist Informationen über die Verkopplungen Contents auszutauschen. Daher führt dieses Verfahren zu einem eher konservativerem Systemverhalten. Anhand einer Simulationsstudie werden die vorgestellten Methoden abschließend präsentiert und die Flexibilität der invarianten Familie von Mengen zur systemtheoretischen Beschreibung von verkoppelten Systemen aufgezeigt.