Enumeration and sparsity in algebraic geometry

Abstract

Die vorliegende Dissertation behandelt Fragen in der enumerativen algebraischen Geometrie, der kommutativen Algebra, der algebraischen Statistik und der Theorie der Gitterpolytope. Allen gemeinsam sind Verbindungen zur Kombinatorik. In Kapitel 1 geht es um das Problem der charakteristischen Zahlen für kubische Hy- perflächen im projektiven Raum. Wir berechnen unter anderem die Anzahl kubischer Flächen tangential zu 19 Geraden im P3 und die Anzahl kubischer Dreifaltigkeiten tangential zu 34 Geraden im P4. Unsere Resultate ermöglichen es prinzipiell, die analogen Fragen in beliebiger Dimension zu beantworten. Dies ist in Teilen gemein- same Arbeit mit Mara Belotti, Alessandro Danelon und Claudia Fevola. In Kapitel 2 bestimmen wir die minimale freie Auflösung des Ideals aller (n − 1)- Minoren einer spärlich besetzten generischen symmetrischen n × n Matrix. Als Anwendung berechnen wir die erste nicht-triviale charakteristische Zahl für alle Familien spärlich besetzter Quadriken ohne diagonale Nullen. Dies ist gemeinsame Arbeit mit Jiahe Deng. In Kapitel 3 studieren wir eine gemeinsame Verallgemeinerung von ungerichteten Gaußschen graphischen Modellen und Kovarianzmodellen, bei denen wir Nullen in sowohl der Kovarianzmatrix als auch der Konzentrationsmatrix erlauben. Wir beweisen Strukturresultate für diese Modelle, z.B. Kriterien für Glattheit, Schranken an die Dimension, implizierte Nullen und Blockstrukturen. Dies ist gemeinsame Arbeit mit Tobias Boege, Thomas Kahle und Frank Röttger. Kapitel 4 handelt von symmetrischen Idealen; dies sind Ideale in einem Polynom- ring, die invariant unter allen Permutationen der Variablen sind. Wir beweisen, dass Ideale, die von dem Orbit eines generischen homogenen Polynoms erzeugt werden, in einem präzisen Sinn das gr¨oßtm¨ogliche Radikal und die kleinstmögliche Verschwindungsmenge besitzen. Kapitel 5 ist ein Beitrag zur lokalen Ehrhart-Theorie. Wir studieren dünne Polytope, also Gitterpolytope, deren lokales h∗-Polynom verschwindet. In Dimension 3 klassi- fizieren wir dünne Gitterpolytope vollständig und in beliebiger Dimension liefern wir eine Charakterisierung dünner Gorensteinpolytope. Dies ist gemeinsame Arbeit mit Christopher Borger und Benjamin Nill.

The present thesis deals with questions in enumerative algebraic geometry, commu- tative algebra, algebraic statistics and the theory of lattice polytopes. All of them share a combinatorial flavor. Chapter 1 is about characteristic numbers for cubic hypersurfaces in projective space. For instance, we explicitly compute the number of cubic surfaces tangent to 19 lines in P3 and the number of cubic threefolds tangent to 34 lines in P4. In principle, our results allow us to answer the analogous question in arbitrary dimensions. This is partly joint work with Mara Belotti, Alessandro Danelon and Claudia Fevola. Chapter 2 provides the minimal free resolution of the ideal of (n − 1)-minors of a sparse generic symmetric n × n matrix. As an application, we compute the first non-trivial characteristic number for all families of sparse quadrics without diagonal zeros. This is joint work with Jiahe Deng. In Chapter 3 we study a common generalization of undirected Gaussian graphical models and covariance models, allowing for zeros in the covariance and the concen- tration matrix simultaneously. We prove structural results like smoothness criteria, dimension bounds, implied zeros and block structures. This is joint work with Tobias Boege, Thomas Kahle and Frank R¨ottger. Chapter 4 is about symmetric ideals, i.e., ideals in a polynomial ring invariant under all permutations of the variables. We prove that ideals generated by the orbit of a general homogeneous polynomial have, in a precise sense, the largest possible radical and the smallest possible vanishing set. Chapter 5 is a contribution to local Ehrhart theory. We study thin polytopes, i.e., lattice polytopes whose local h∗-polynomial vanishes. We provide a complete classification in dimension 3 and a characterization of thin Gorenstein polytopes in arbitrary dimension. This is joint work with Christopher Borger and Benjamin Nill.