Selected aspects of complex flow problems : modelling, analysis, numerics

Abstract

The research presented in this thesis focuses on the mathematical modelling, analysis, and development of numerical schemes to capture complex flows. We present results on selected partial and ordinary differential equation problems arising in continuum mechanics and collective dynamics. As a result of the research of this thesis, the author worked on several research projects together with collaborators. The applications concern four main topics. We first focus on the Navier- Stokes system and fluid-structure interactions that describe blood flow and blood vessel wall mechanics. The second direction in fluid mechanics is a complex flow of the Euler system with variable congestion in an application to crowd dynamics. The research in collective dynamics revolves around a density induced consensus protocol and its relevance to data segmentation. Finally, we consider novel neural network approximations of PDEs, for which we develop dual weight residual error estimator. The investigation of theoretical and practical aspects of blood flow simulations focuses on error estimates for the finite element approximation of elliptic partial differential equations on perturbed domains. Later, we study the impact of using a full Fluid Structure Interaction model on important hemodynamical factors by developing a stenotic coronary artery benchmark. Finally, we present patient specific simulations of blood flow in cephalic arch, and discuss their implications is clinical decision support. The two-phase compressible/incompressible fluid model with variable congestion constraint is a model of the macroscopic motion of a crowd with individual congestion preferences that exhibits typical features of crowd dynamics. The results includes proof of the existence of weak solutions, the development of asymptotic preserving finite volume schemes, and numerical simulations. The research in collective dynamics introduces a novel density induced consensus protocol. The communication rule is based on the following general paradigm: to influence the behavior of an individual, communication with a sufficiently dense nearby crowd is required. The proposed protocol is applied to both first-order and second-order systems. We investigate mathematical properties, as well as presenting applications to data clustering and image processing. Finally, we present an error estimator based on the dual weighted residual method for neural network approximations of partial differential equations. It is destined to serve as an accurate and simple stopping criterion that guarantees the accuracy of the solution independently of the design of the neural network training. All of the topics motioned above are supplemented with numerous computational examples. By means of numerical simulations, we present the characteristics of the models under consideration that validate theoretical findings.

Diese Habilitationsschrift befasst sich mit der mathematischen Modellierung, Analyse und Entwicklung von numerischen Verfahren zur Erfassung komplexer Strömungen. Wir präsentieren Ergebnisse zu ausgewählten gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen (PDG), die in der Kontinuumsmechanik und kollektiven Dynamik auftreten. Im Rahmen der Forschung dieser Arbeit arbeitete der Autor an mehreren Forschungsprojekten mit. Die Anwendungen betreffen vier Hauptthemen. Wir konzentrieren uns zunächst auf das Navier-Stokes-System und die Fluid-Struktur-Interaktion, die den Blutfluss und die Mechanik der Blutgefäßwände beschreiben. Letzteres ist eine komplexe Strömung des Euler-Systems mit variabler Stauung, die auf die Dynamik von Menschenmengen angewandt wird. Die Forschung im Bereich der kollektiven Dynamik dreht sich um ein dichteinduziertes Konsensprotokoll und seine Bedeutung für die Datensegmentierung. Schließlich betrachten wir neuartige Approximationen neuronaler Netze von PDG, für die wir einen dual gewichteten Restfehlerschätzer entwickeln. Wir untersuchen die theoretischen und praktischen Aspekte von Blutflusssimulationen, wobei wir uns auf Fehlerschätzungen für die Finite-Elemente-Approximation von elliptischen PDG auf gestörten Gebieten konzentrieren. Später untersuchen wir, wie sich die Verwendung eines vollständigen Fluid-Struktur-Interaktionsmodells auf wichtige hämodynamische Faktoren auswirkt, indem wir eine stenotischen Koronararterie-Benchmark entwickeln. Schließlich präsentieren wir patientenspezifische Simulationen des Blutflusses in der Kopfader und erörtern deren Bedeutung für die klinische Entscheidungsfindung. Das zweiphasige kompressible/inkompressible Fluidmodell mit variabler Stauung ist ein Modell der makroskopischen Bewegung einer Menschenmenge mit individuellen Staupräferenzen. Die Ergebnisse umfassen den Nachweis über die Existenz schwacher Lösungen, die Entwicklung von Finite-Volumen-Verfahren und numerische Simulationen. Die Forschung im Bereich der kollektiven Dynamik stellt ein neuartiges dichteinduziertes Konsens- Protokoll dar. Die Kommunikationsregel entspricht dem folgenden Prinzip: Um das Verhalten eines Individuums zu beeinflussen, ist die Kommunikation mit einer ausreichend großen Menschenmenge in der Nähe erforderlich. Das vorgeschlagene Protokoll wird sowohl auf Systeme erster als auch zweiter Ordnung angewendet. Wir untersuchen die mathematischen Eigenschaften und stellen Anwendungen für Datenclustering und Bildverarbeitung vor. Schließlich präsentieren wir einen Fehlerschätzer auf Grundlage der Dual Weighted Residual Methode für die Approximation von PDG durch neuronale Netze. Er soll als genaues und einfaches Abbruchkriterium dienen, das die Genauigkeit der Lösung unabhängig von der Gestaltung des Trainings des neuronalen Netzes garantiert. Alle oben behandelten Themen werden durch zahlreiche Rechenbeispiele ergänzt. Anhand von numerischen Simulationen werden die Eigenschaften der betrachteten Modelle aufgezeigt und die theoretischen Erkenntnisse validiert.