Derivation and application of quantum Hamilton equations of motion

Abstract

Die grundlegende Struktur der klassischen Mechanik ist gleichermaßen in der Theorie der mikroskopischen Systeme anzutreffen. So stellen die Schrödingergleichung, die stochastischen kinematischen Gleichungen von E. Nelson und das quantenmechanische Hamiltonische Prinzip, von M. Pavon, drei äquivalente Theorien dar, welche jeweils die Dynamik eines Quantenteilchens eindeutig beschreiben. Durch die Interpretation des Variationsprinzips von Pavon als ein stochastisches optimales Steuerungsproblem gelingt es, quantenmechanische Hamiltonische Bewegungsgleichungen (für Ort und Geschwindigkeit) herzuleiten, welche unabhängig von der Schrödingergleichung gelöst werden können. Die vorliegende Arbeit stellt die Grundlage und Vorgehensweise bereit, quantenmechanische Systeme ohne Kenntnis der Wellenfunktion mit Methoden der stochastischen Mechanik zu beschreiben. Somit ist die Schrödingergleichung, eine mögliche Methode zur Beschreibung eines quantenmechanischen Systems, jedoch nicht die einzige.

The description of non-relativistic quantum systems is generally based upon the same fundamental structure as found in the theory of classical mechanics. The Schrödinger equation, the stochastic kinematic equations of E. Nelson and the quantum Hamilton principle, as introduced by M. Pavon, are equivalent methods for a unique description of quantum systems. If the variational problem of Pavon is interpreted as a stochastic optimal control problem, the quantum Hamilton equations of motion - that addressing the particle's position and velocity - can be derived and solved uniquely, yielding an approach that is in fact independent of the Schrödinger equation. The thesis at hand introduces and demonstrates the description of quantum systems in terms of the above mentioned stochastic model, and does not require knowledge on the wave function to yield a proper solution to quantum-mechanical problems. Thus, the Schrödinger equation is one, but not the only, method to describe quantum systems.