Visualization of second-order-tensor data and vector field ensembles

Abstract

In scientific disciplines such as mechanics, medical imaging, or fluid dynamics, simulations and measurements are used to gain an understanding of real-world phenomena. Working with and analyzing such data allows scientists to derive better insights, improve current models that try to describe real-world processes, or make better predictions about future events. Increasing computing power as well as advances in algorithms and measuring techniques allow for larger amounts as well as for more accurate data. Additionally, to make data more reliable and trustworthy, the uncertainty of the system or the measurements can also be recorded, and the information made available. This, however, also makes it harder to process, structure, and understand the resulting information. Visualizing high-dimensional, uncertain, or multivariate data has therefore grown to be a major challenge in the field of scientific visualization. The fields of our contributions are twofold: First, we introduce novel visualization techniques for second-order tensors. These mathematical objects are used to describe physical quantities in a variety of applications, from diffusion tensor imaging (DTI) to describing derivatives of vector fields. Glyphs have proven to be a valuable visualization for domain experts. While most of the known glyph techniques are limited to symmetric second-order tensors only, we introduce a new glyph design capable of encoding any given 2D or 3D secondorder tensor following a set of design principles. We further extend the new construction which then allows the glyphs to represent Jacobian matrices of unsteady vector fields. The final contribution in this field is a novel extension for a variety of tensor glyphs to represent uncertain symmetric second-order tensors. Secondly, we deal with vector field ensembles. A single vector field often describes the movement of liquids like wind or water. A vector field ensemble is a collection of such fields over the same domain that might either be the results of simulations with varying parameters or a set of measurements of the same phenomenon. As such, ensembles provide a way to have uncertainty represented with a collection of different representations of the same experiment. Domain experts need appropriate visualizations for finding trends, differences, and similarities within the ensemble members. Side-by-side comparisons prove unsuitable for that task when the number of fields is too high. A better strategy is to find features that are able to represent or describe the whole ensemble. We, therefore, introduce a new operator, called the Approximate Parallel Vectors Operator. It finds all locations within an ensemble vector field, where the vectors of all ensemble members are approximately parallel and thus very similar to each other. All approaches and visualization techniques are applied to synthetic and real-world data sets and therefore provide a number of novel visualization tools for the investigation of scientific data.

Simulationen und Messungen helfen in vielen wissenschaftlichen Disziplinen wie der Mechanik, der Medizinischen Bildgebung oder der Strömungsmechanik, ein besseres Verständnis für auftretende Phänomene zu erhalten. Die Arbeit mit und die Analyse solcher Daten erlaubt es Wissenschaftler*innen, bessere Einblicke zu erhalten, derzeit gängige Modelle zu verbessern, die versuchen reelle Prozesse zu beschreiben oder bessere Voraussagen über die Zukunft zu treffen. Der Anstieg der Rechenleistung sowie die Fortschritte bei Algorithmen und Messtechniken sorgen für mehr Datenmengen und genauere Daten. Zusätzlich können die Unsicherheiten von Systemen oder Messungen aufgezeichnet und bereitgestellt werden, um Daten zu erlangen, die vertrauenswürdiger und zuverlässiger sind. Dies sorgt allerdings dafür, dass das Verarbeiten, Strukturieren und Verstehen der gesammelten Informationen komplizierter wird. Daher ist das Visualisieren von hochdimensionalen, unsicheren und multivariaten Daten zu einer massiven Herausforderung im Bereich der wissenschaftlichen Visualisierung geworden. Die Ansätze, die hier präsentiert werden können in zwei Bereiche aufgeteilt werden: Zuerst werden neue Techniken zur Visualisierung von Tensoren zweiter Ordnung präsentiert. Diese mathematischen Objekte werden dazu genutzt, physikalische Größen in verschiedensten Bereichen zu beschreiben. Dies reicht von der Diffusionstensorbildgebung (DTI) bis hin zur Ableitung von Vektorfeldern. Dabei haben sich Glyphen als wertvolles Visualisierungswerkzeug für Fachexpert*innen erwiesen. Während die meisten bekannten Konstruktionen von Glyphen allerdings auf den symmetrischen Fall von Tensoren zweiter Ordnung limitiert sind, stellen wir eine neue Konstruktion vor, welche einer Sammlung an Designgrundsätzen folgt und es ermöglicht, jeglichen 2D oder 3D Tensor zweiter Ordnung zu repräsentieren. Außerdem erweitern wir diese Konstruktion, sodass es ebenfalls möglich wird, Jacobimatrizen von zeitabhängigen Vektorfeldern darzustellen. Der letzte Beitrag in diesem Bereich ist eine neuartige Erweiterung für eine Vielzahl von Tensorglyphen, um ebenfalls unsichere symmetrische Tensoren zweiter Ordnung darzustellen. Der zweite Teil setzt sich mit Ensemblen von Vektofeldern auseinander. Ein einzelnes Vektorfeld beschreibt oftmals die Bewegung von Flüssigkeiten wie Wind oder Wasser. Ein Vektorfeldensemble ist eine Sammlung solcher Felder, die denselben Bereich beschreiben und beispielsweise entweder das Ergebnis von Simulationen mit sich ändernden Parametern, oder eine Sammlung an Messungen desselben Phänomens darstellt. Es ist daher eine Möglichkeit, Unsicherheit durch eine Sammlung an verschiedenen Realisierungen desselben Experiments zu repräsentieren. Fachexpert*innen benötigen passende Visualisierungen, um Tendenzen, Unterschiede und Ähnlichkeiten innerhalb der Ensemblemitglieder zu finden. Wenn die Zahl der Felder zu hoch ist, stellen sich direkte Gegenüberstellungen für diese Aufgaben als unpassend heraus. Eine bessere Strategie stellt das Finden von Merkmalen dar, die das gesamte Ensemble beschreiben oder repräsentieren können. Wir stellen daher einen neuen Operator vor, den wir den Approximate Parallel Vectors Operator nennen. Dieser findet alle Orte innerhalb eines Ensemblevektorfeldes, an denen die Vektoren aller Ensmemblemitglieder annähernd parallel und somit sehr ähnlich zueinander sind. Alle Ansätze und Visualisierungstechniken werden auf künstlich erstellten sowie echtweltlichen Datensätzen angewandt und stellen somit eine Reihe von neuartigen Visualisierungswerkzeugen für die Untersuchung von wissenschaftlichen Daten dar.