Effective interactions in the quantum theory of molecular and condensed matter physics

Abstract

In der vorliegenden Arbeit wird die Konvergenz beim symbolischen iterativen lösen von Hedins Gleichungen untersucht. Zu diesem Zweck wird eine Theorie zur Analyse von Gleichungen aus Feynman-Diagrammen entwickelt. Die entwickelte Theorie ist allgemein formuliert, so dass auch eine große Menge ähnlicher Gleichungssysteme abgedeckt werden. Einige wichtige Beispiele dafür werden auf dem Weg zu Hedins Gleichungen aufgezeigt. Die bekannteste auf Hedins Gleichungen basierende Näherung, die GW-Näherung, wird im Weiteren untersucht. Es zeigt sich, dass die entsprechenden Gleichungen eine Vielzahl von Lösungen aufweisen. Das legt die Frage nahe, wie die physikalische korrekte Lösung gefunden werden kann. Es werden zwei Sätze bewiesen, welche klären, warum die gängigen Methoden zum Finden der Lösung typischerweise funktionieren. Als weiteres Beispiel wird ein Algorithmus, welcher zusätzliche Vertex-Korrekturen einbezieht, beschrieben und für diesen und die GW-Näherung nummerisch die Richtigkeit der Sätze demonstriert.

In the present work, the convergence of the process of iterating Hedin's or similar equations symbolically is investigated. For this sake, a theory to analyze equations formulated in terms of Feynman diagrams is developed. The theory developed to show this is general enough to cover many similar systems of equations. Some important examples are highlighted along the way towards Hedin's equations. The most famous approximation based on Hedin's equations, GW-approximation, is studied in further detail. The equations underlying the GW-approximation are shown to have a large number of solutions. This raises the question, how the physical solution can be found. Two theorems which explain why the methods currently in use usually find the correct solution are derived. An efficient algorithm for including self-consistent vertex corrections well beyond GW is described and used in a numerical validation of the two theorems.