Reflection length in infinite non-affine Coxeter groups

Abstract

This thesis is devoted to the study of the reflection length function on infinite non-affine Coxeter groups. Infinite non-affine Coxeter groups are Coxeter groups that do not split into a direct product of spherical and Euclidean reflection groups. Reflection length is well understood for direct products of spherical and Euclidean reflection groups and there exist formulas in this case (see [Car72; Bre+19]). Whilst the reflection length is bounded on this type of Coxeter group, the reflection length function is unbounded on infinite non-affine Coxeter groups shown by Kamil Duszenko (see [Dus12]). Apart from this, very little is known about the reflection length in infinite non-affine Coxeter groups. In this work, we investigate the asymptotic behaviour of the reflection length function on infinite non-affine Coxeter groups to identify repetitive patterns and to prove global geometric results. For this, we use the rich duality of combinatorics and geometry inherent to Coxeter groups. The geometric and combinatorial foundations of Coxeter groups are discussed in the second and third chapters. In Chapter 4, we present a new proof of the unboundedness of the reflection length function on infinite non-affine Coxeter groups. This proof is based on the Brooks construction for acylindrically hyperbolic groups. As a first main result, we prove a formula for the reflection length of powers of Coxeter elements in a universal Coxeter group of arbitrary rank in Chapter 5. The formula allows us to deduce results about the minimal word length for a given reflection length and vice versa in universal Coxeter groups. These results are proved combinatorially with the properties of the reflection length function and a result by Matthew J. Dyer in [Dye01]. The sixth chapter deals with infinite non-affine Coxeter groups that are discrete groups generated by finitely many hyperplane reflections in the n-dimensional hyperbolic space. The action of such a Coxeter group induces a tessellation of the hyperbolic space. For a fixed fundamental domain, there exists a bijection between the tiles and the group elements. The second main result describes points in the visual boundary of the n-dimensional hyperbolic space for which every neighbourhood contains tiles of every reflection length. For the proof of this result, we show that two disjoint hyperplanes in the n-dimensional hyperbolic space without common boundary points have a unique common perpendicular. This generalises a result of David Hilbert in [Hil13]. The last main result shows that the reflection lengths of the sequence of growing powers of a Coxeter element tend to infinity for Coxeter groups with sufficiently large braid relations. To obtain this result, we compare the reflection length function of an arbitrary Coxeter group and the reflection length function of the universal Coxeter group of the same rank in the last chapter. By applying a solution to the word problem for Coxeter groups, we derive a lower bound for the reflection length in an arbitrary Coxeter group. For Coxeter groups corresponding to a Coxeter matrix with equal non-diagonal entries, sharp upper bounds for the reflection length of the powers of Coxeter elements are established.

Diese Arbeit befasst sich mit dem Studium der Spiegelungslänge in unendlichen nicht- affinen Coxetergruppen. Unendliche nicht-affine Coxetergruppen sind Coxetergruppen, die nicht das direkte Produkt von sphärischen und euklidischen Spiegelungsgruppen sind. Die Spiegelungslänge ist in direkten Produkten von sphärischen und euklidischen Spiegelungsgruppen gut verstanden und es existieren Formeln in diesem Fall (siehe [Car72; Bre+19]). Während sie beschränkt auf diesem Typ Coxetergruppe ist, ist die Spiegelungelänge unbeschränkt auf unendlichen nicht-affinen Coxetergruppen gemäß eines Resultats von Kamil Duszenko (siehe [Dus12]). Darüber hinaus ist wenig bekannt über die Spiegelungslänge in unendlichen nicht-affinen Coxetergruppen. Ziel dieser Arbeit ist es Methoden für die Erforschung des asymptotischen Verhaltens der Spiegelungslänge in unendlichen nicht-affinen Coxetergruppen zu entwickeln, repetitive Muster aufzudecken und globale geometrische Resultate über die Spiegelugnslänge zu beweisen. Dafür nutzen wir die vielfältige Dualität von Kombinatorik und Geometrie der Coxetergruppen. Die geometrischen und kombinatorischen Grundlagen für Coxetergruppen werden im zweiten und dritten Kapitel zusammengefasst. In Kapitel 4 wird ein neuer Beweis der Unbeschränktheit der Spiegelungslänge in unendlichen nicht-affinen Coxetergruppen vorgestellt, der auf der Brooks Konstruktion für azylindrische hyperbolische Gruppen beruht. Als erstes Hauptresultat, beweisen wir eine Formel für die Spiegelungslänge der Potenzen der Coxeterelemente in universellen Coxetergruppen beliebigen Ranges in Kapitel 5. Resultate über die minimale Wortlänge für eine gegebene Spiegelungslänge und umgekehrt leiten wir daraus ab. Diese Ergebnisse werden kombinatorisch mit den Eigenschaften der Spiegelungslängenfunktion und einem Theorem von Matthew J. Dyer in [Dye01] bewiesen. Das sechste Kapitel befasst sich mit unendlichen nicht-affinen Coxetergruppen, die diskrete, von endlich vielen Hyperebenenspiegelungen im n-dimensionalen hyperbolischen Raum erzeugte Gruppen sind. Die Wirkung einer solchen Coxetergruppe induziert eine Parkettierung des hyperbolischen Raums. Es existiert eine Bijektion zwischen den Kacheln und den Gruppenelementen für einen festen Fundamentalbereich. Das zweite Hauptresultat ist die Identifikation spezieller Punkte auf dem visuellen Rand des n-dimensionalen hyperbolischen Raums, für die alle ihre Umgebungen Kacheln beliebiger Spiegelungslänge beinhalten. Für den Beweis dieses Resultats zeigen wir, dass zwei disjunkte Hyperebenen im n-dimensionalen hyperbolischen Raum ohne gemeinsame Randpunkte eine eindeutige gemeinsame Senkrechte haben. Dies verallgemeinert ein Resultat von David Hilbert in [Hil13]. Das letzte Hauptresultat ist, dass die Spiegelungslängen der Folge von wachsenden Potenzen eines Coxeterelements gegen unendlich strebt in Coxetergruppen mit genügend großen Zopfrelationen. Um dieses Resultat zu beweisen, wird im letzten Kapitel die Abbildung der Spiegelungslänge einer beliebigen Coxetergruppe mit der Abbildung der Spiegelungslänge der universellen Coxetergruppe gleichen Ranges verglichen. Mit einer Lösung des Wortproblems für Coxetergruppen leiten wir eine untere Schranke für die Spiegelungslänge in beliebigen Coxetergruppen ab. Für Coxetergruppen mit dem gleichen Eintrag überall abseits der Diagonalen in der Coxetermatrix werden scharfe obere Schranken für die Spiegelungslänge der Potenzen der Coxeterlemente bewiesen.