Riccati feedback stabilization of the Stefan Problem

Abstract

The modeling, simulation, control, and stabilization of phase change problems is an active area of research. One of the most commonly used models for this phenomenon is the Stefan problem. In particular, the position and trajectory of the moving interface play an important role in the material quality or the energy and time efficiency in many real solidification processes. In particular, the feedback stabilization of the two- dimensional two-phase Stefan problem has the potential to automate such solidification processes. The goal of this thesis is to conceptually and numerically investigate the derivation and computation of a feedback stabilization for the Stefan problem, and then to apply this feedback stabilization in a closed-loop simulation. However, the moving interface poses several challenges that are addressed in this thesis. To derive a feedback stabilization, the linear-quadratic regulator approach is chosen, which requires a linearization of the non-linear Stefan problem. This linear version of the Stefan problem can then be discretized in space to assemble matrices that are the coefficients for a differential Riccati equation. The main challenge here is that the moving interface causes the matrices to be time- dependent and thus the differential Riccati equation to be non-autonomous. To solve this Riccati equation numerically, a major contribution of this thesis are non- autonomous backward differentiation formulas. Another challenge arising from the moving interface during the closed-loop simula- tion of the Stefan problem are numerical issues that cause a blow-up behavior of time- stepping schemes such as the implicit Euler method or the trapezoidal rule. A further major contribution of this thesis is the presentation of a time-adaptive strategy that is combined with the fractional-step theta scheme for the closed-loop simulation of the Stefan problem. Finally, the different aspects of the derivation and computation of a feedback stabi- lization are investigated numerically to assess the applicability and performance of the proposed methods. In addition, the numerical codes and data used for the experiments are available to make the results of this thesis reproducible and reusable.

Die Modellierung, Simulation, Steuerung und Stabilisierung von Phasenwechselproble- men ist ein aktives Forschungsgebiet. Eines der am häufigsten verwendeten Modelle für dieses Phänomen ist das Stefan-Problem. Insbesondere die Position und die Trajektorie der sich bewegenden Phasengrenze spielen eine wichtige Rolle für die Materialqualität oder die Energie- und Zeiteffizienz in vielen realen Erstarrungsprozessen. Insbesondere die Feedback-Stabilisierung des zweidimensionalen zweiphasigen Stefan-Problems hat das Potential, solche Erstarrungsprozesse zu automatisieren. Ziel dieser Dissertation ist es, die Herleitung und Berechnung einer Feedback- Stabilisierung für das Stefan-Problem konzeptionell und numerisch zu untersuchen und anschließend diese Feedback-Stabilisierung in einer Closed-Loop-Simulation anzuwenden. Die bewegte Phasengrenze stellt jedoch mehrere Herausforderungen dar, die in dieser Dissertation behandelt werden. Um eine Feedback-Stabilisierung abzuleiten, wird der Ansatz des linearen-quadratischen Reglers gewählt, der eine Linearisierung des nicht-linearen Stefan-Problems erfordert. Diese lineare Version des Stefan-Problems kann dann im Raum diskretisiert werden, um Matrizen aufzustellen, die die Koeffizienten für eine Riccati-Differentialgleichung darstellen. Die größte Herausforderung besteht darin, dass die Matrizen aufgrund der sich bewegenden Phasengrenze zeitabhängig sind und die Riccati-Differentialgleichung somit nicht autonom ist. Um diese Riccati-Gleichung numerisch zu lösen, sind nicht-autonome BDF-Verfahren (Backward Differentiation Formulas) ein wichtiger Beitrag dieser Dissertation. Eine weitere Herausforderung, die sich aus der beweglichen Phasengrenze während der Simulation des Stefan-Problems ergibt, sind numerische Probleme, die ein Blow-up- Verhalten von Zeitschrittverfahren wie der impliziten Euler-Methode oder der Trapez- regel verursachen. Ein weiterer wichtiger Beitrag dieser Dissertation ist die Einführung einer zeitadaptiven Strategie, die mit dem Theta-Verfahren (fractional-step theta scheme) für die Simulation mit Stabilisierung des Stefan-Problems kombiniert wird. Schließlich werden die verschiedenen Aspekte der Herleitung und Berechnung einer Feedback-Stabilisierung numerisch untersucht, um die Anwendbarkeit und Leistungs- fähigkeit der vorgeschlagenen Methoden zu überprüfen. Darüber hinaus sind die für die Experimente verwendeten numerischen Codes und Daten verfügbar, um die Ergebnisse dieser Dissertation reproduzierbar und wiederverwendbar zu machen.