Optimal experimental designs in multiple-group mixed models

Abstract

The present habilitation consists for five scientific papers: Prus (2022a), Prus (2023b), Prus (2023a), Prus and Filová (2023) and Prus and Piepho (2021). Also four earlier works (Prus (2020), Prus et al. (2020), Prus (2022b) and Harman and Prus (2018)) are related to the same topic. In the habilitation optimal designs in multiple-group mixed models were investigated. In these models observational units (for simplicity called ’individuals’) are allocated to several groups. Statistical properties of the individuals may differ from group to group. For each observational unit many observations are possible, repeated measurements are allowed. The response depends on unknown fixed and (unit-specific or ’individual’) random effects. In the present work the main focus is on optimal designs for the prediction of random effects or of linear combinations of fixed and random effects, based on the related best linear unbiased predictors (BLUP). Also for the estimation of fixed effects (BLUE) some new aspects, especially for the computation of designs, were considered. The resulting design criteria turned out to depend on several designs (group-designs) simultaneously. For such design criteria the general equivalence theorem proposed by Kiefer (1974) cannot be used. In Prus (2022a) extended versions of the general equivalence theorem are provided. The (new) equivalence theorems for the multiple-design problems are based on the assumptions of convexity and differentiability of the design criteria. For the design problems with finite experimental regions optimality conditions were formulated with respect to the designs themselves (Theorem 1). For the case where the optimality criteria depend on the designs via information (or moment) matrices only, optimality conditions were formulated with respect to the information matrices (Theorem 2). Prus (2023b) investigated optimal designs for the prediction of the individual random parameters and the group difference in two-groups random coefficient regression (RCR) models with multivariate response. A solution for optimal approximate designs is given in the form of optimality conditions for the linear and D-criteria. The optimality criteria depend on the designs via the (group-) information matrices, hence, the optimality conditions could be obtained using Theorem 2 from Prus (2022a). Prus (2023a) considered optimal designs for the prediction in the RCR models in which only one observation per observational unit is possible. An analytical solution is given for optimal designs for the prediction of random effects for a group of selected individuals. The optimal designs have been obtained for individual effects via their arithmetic mean. The design criteria turned out to depend on two (group-) designs simultaneously. The solution is given by optimality conditions, which results from Theorem 2 in Prus (2022a). Prus and Filová (2023) discussed the problem of the computation of optimal and efficient designs for fixed effects in the multiple-group mixed models considered in Prus (2023b). In this work equi- and invariance properties of designs have been analyzed, the proposed computational method is based on the algorithm by Harman et al. (2016) and allows for additional constrains on design. Prus and Piepho (2021) considered allocation of trials to sub-regions in multi-environment crop variety testing. A linear mixed model with random genotype effects has been assumed. For this problem Bayesian optimal designs for an adjusted covariance matrix of genotype effects turn out to be optimal. Some other related results are presented in the earlier works Prus (2020), Prus (2022b), Prus et al. (2020) and Harman and Prus (2018). Prus (2020) and Prus (2022b) investigated optimal designs in particular multiple-group RCR models with several treatment groups and a control group or two treatment groups, respectively. An application in medical research for simple RCR models has been discussed in Prus et al. (2020). Harman and Prus (2018) proposed a computational approach for optimal designs with respect to the Compound Bayes Risk Criterion (CBRC). This approach has been used for computing Bayesian optimal designs in Prus (2023b) and Prus and Piepho (2021).

Die vorliegende Habilitation besteht aus fünf wissenschaftlichen Arbeiten: Prus (2022a), Prus (2023b), Prus (2023a), Prus and Filová (2023) und Prus and Piepho (2021). Auch vier frühere Arbeiten (Prus (2020), Prus et al. (2020), Prus (2022b) und Harman and Prus (2018)) beziehen sich auf das Habilitationsthema. In der Habilitation wurden optimale Versuchspläne (Designs) in gemischten Mehrgruppenmodellen untersucht. In diesen Modellen werden Beobachtungseinheiten (’Individuen’) den Gruppen zugeordnet. Statistische Eigenschaften der Individuen können sich von Gruppe zu Gruppe unterscheiden. Für jede Beobachtungseinheit sind viele Beobachtungen möglich, wiederholte Messungen sind zugelassen. Die Antwortvariablen hängen von unbekannten festen und (individuellen) zufälligen Effekten ab. Der Schwerpunkt der vorliegenden Arbeit liegt an optimalen Designs für die Vorhersage zufälliger Effekte bzw. linearer Kombinationen von festen und zufälligen Effekten, basierend auf der zugehörigen besten linearen erwartungstreuen Vorhersage (BLUP). Auch für die Schätzung von festen Effekten (BLUE) wurden einige neue Aspekte, insbesondere für die Berechnung von Designs, berücksichtigt. Die resultierenden Designkriterien hängen gleichzeitig von mehreren Designs (Gruppendesigns) ab. Für solche Designkriterien kann der von Kiefer (1974) vorgeschlagene allgemeine Äquivalenzsatz nicht verwendet werden. In Prus (2022a) sind erweiterte Versionen des allgemeinen Äquivalenzsatzes dargestellt. Die (neuen) Äquivalenztheoreme für die Multiple-Design-Probleme basieren auf den Annahmen der Konvexität und Differenzierbarkeit der Designkriterien. Für die Designprobleme mit endlichen Versuchsbereichen wurden Optimalitätsbedingungen bezüglich der Designs selbst formuliert (Theorem 1). Für den Fall, wenn die Optimalitätskriterien nur über Informations- (oder Moment-) Matrizen von den Designs abhängen, wurden Optimalitätsbedingungen in Bezug auf die Informationsmatrizen formuliert (Theorem 2). Prus (2023b) hat optimale Versuchspläne für die Vorhersage der individuellen zufälligen Parameter und der Gruppendifferenz in Zwei-Gruppen-Regressionsmodellen mit zufälligen Effekten (random coefficient regression, RCR) untersucht. Eine analytische Lösung für optimale approximative Versuchspäne ist in Form von Optimalitätsbedingungen für die L- und D-Kriterien gegeben. Die Optimalitätskriterien hängen von den Designs über die Gruppen- Informationsmatrizen ab. Die Optimalitätsbedingungen wurden mithilfe von Theorem 2 in Prus (2022a) erhalten. Prus (2023a) hat optimale Versuchspläne für die Vorhersage in den RCR-Modellen, in denen nur eine Beobachtung pro Beobachtungseinheit möglich ist, untersucht. Eine analytische Lösung für optimale Designs zur Vorhersage zufälliger Effekte für eine Gruppe ausgewählter Individuen wurde vorgeschlagen. Die optimalen Designs für individuelle Effekte wurden über ihren arithmetischen Mittelwert erhalten. Die resultierenden Designkriterien hängen gleichzeitig von zwei Gruppen-Designs ab. Die Lösung ist gegeben in Form der Optimalitätsbedingungen, die sich aus Theorem 2 in Prus (2022a) ergeben. In Prus and Filová (2023) wurde das Problem der Berechnung optimaler und effizienter Designs für feste Effekte in den in Prus (2023b) betrachteten gemischten Mehrgruppenmodellen berücksichtigt. In dieser Arbeit wurden Äqui- und Invarianzeigenschaften von Designs analysiert, die vorgeschlagene Berechnungsmethode basiert auf dem Algorithmus von Harman et al. (2016) und berücksichtigt zusätzliche Einschränkungen für Designs. Prus and Piepho (2021) haben die Zuordnung der Feldversuche den Subregionen bei der Prüfung von Kulturpflanzensorten in mehreren Umgebungen betrachtet. Es wurde ein lineares gemischtes Modell mit zufälligen Genotypeffekten verwendet. Für dieses Versuchsplanungsproblem zeigen sich Bayes’sche optimale Designs für eine angepasste Kovarianzmatrix von Genotyp-effekten optimal. Einige weitere Ergebnisse, die für das Habilitationsthema relevant sind, wurden in den früheren Arbeiten Prus (2020), Prus (2022b), Prus et al. (2020) und Harman and Prus (2018) dargestellt. In Prus (2020) wurden optimale Designs in speziellen Mehrgruppen-RCR-Modellen mit mehreren Behandlungsgruppen und einer Kontrollgruppe untersucht. In Prus (2022b) ging es um Modelle mit zwei Behandlungsgruppen. Eine Anwendung in der medizinischen Forschung für einfache RCR-Modelle wurde in Prus et al. (2020) vorgeschlagen. Harman and Prus (2018) haben eine Berechnungsmethode für optimale Designs für das Compound Bayes Risk Criterion (CBRC) entwickelt. Diese Methode wurde zur Berechnung optimaler Bayes’scher Designs in Prus (2023b) und Prus and Piepho (2021) verwendet.