Temporal multiscale simulations for multiphysics problems

Abstract

We introduce novel time discretization schemes for coupled systems of partial differential equations. Our main focus is systems that are defined over spatially distinct domains with a common interface, where the coupling is enforced. We also look at volume coupled models defined over the same domain. Fluid-structure Interactions are one type of important application problem that fall into this framework. Each of the physical problems can be governed by a different type of equations and therefore can exhibit different dynamics. In traditional methods, the time-step size has to be the same for both of the systems and adjusted to the subproblem with faster dynamics. As a result, the time-step size in the other one is unnecessarily small. Our aim is to develop time discretization schemes allowing for different time-step sizes without violating the coupling conditions. We introduce a hierarchy of time meshes - a common uniform coarse mesh and a second, finer mesh that can be chosen independently. The problems are formulated within the space-time framework which allows us access to the apparatus usually reserved for space discretization only. Although the formulation is monolithic, we solve the systems sequentially relying on a partitioned approach. To resolve the coupling conditions, special decoupling algorithms are introduced. Two such algorithms are discussed, namely a relaxation and a shooting method. We further develop an a posteriori error estimator based on the Dual Weighted Residual method and define the necessary adjoint formulations needed for this approach. The estimator is then used as an adaptivity criterion. We numerically test the performance of both of the decoupling strategies as well as the error estimator for a series of test problems. We further expand our results by proving theoretical estimates and show error estimates for the implicit Euler time-stepping scheme. The starting point consists of a simple system of ordinary differential equations. It is then followed by the analysis of two heat equations coupled across a common interface scaled by different diffusivity constants. As the final problem, we look at an analogous Stokes equations system. We study both semi-discrete as well as fully discrete cases. For the Stokes problem, the estimates are proved in a special newly defined norm that incorporates the coupling conditions.

Wir stellen ein neuartiges Zeitdiskretisierungsverfahren für gekoppelte Systeme von partiellen Differentialgleichungen vor. Wir untersuchen vornehmlich Systeme über räumlich getrennten Domänen mit einer gemeinsamen Schnittstelle, an welcher die Kopplungsbedingung forciert wird. Wir betrachten ebenfalls volumengekoppelte Modelle über der gleichen Domäne. Zu dieser Klasse von Problemen gehören unter anderem wichtige Anwendungsgebiete wie Flüssigkeits-Feststoff-Interaktion. Jedes physikalische Problem kann durch eine andere Art von Gleichungen bestimmt werden und entsprechend unterschiedliche Dynamiken aufweisen. Bei traditionellen Methoden muss die Zeitschrittgröße für beide Systeme übereinstimmen und an das Unterproblem mit schnelleren Dynamiken angepasst werden. Als Ergebnis ist die Zeitschrittgröße im anderen Unterproblem unnötig klein. Unser Ziel ist es, Zeitschrittdiskretisierungsverfahren zu entwickeln, die unterschiedliche Zeitschrittgrößen ohne Verletzung der Kopplungsbedingungen ermöglichen. Wir stellen eine Zeitgitterhierarchie vor - ein grobes Gitter, das überall gleich ist, und ein zweites, feineres Gitter, das unabhängig gewählt werden kann. Wir formulieren die Probleme unter Verwendung des Orts-Zeit-Zugangs, der uns den Zugang zu Methoden ermöglicht, die normalerweise nur für die Raumdiskretisierung zur Verfügung stehen. Obwohl die Formulierung monolithisch ist, lösen wir die Systeme sequentiell unter Verwendung eines partitionierten Ansatzes. Um die Kopplungsbedingungen zu lösen, führen wir spezielle Entkopplungsalgorithmen ein. Wir schlagen zwei dieser Algorithmen vor – das Relaxationund das Shooting-Verfahren. Wir entwickeln weiterhin einen a-posteriori Fehlerabschätzer, welcher auf der Dual Weighted Residual-Methode basiert. Wir definieren darüberhinaus die notwendigen dualen Probleme, die für diesen Ansatz erforderlich sind. Der Schätzer wird dann als Adaptivitätskriterium verwendet. Wir testen die Leistung beider Entkopplungsstrategien sowie des Fehlerschätzers für eine Reihe von Testproblemen numerisch. Wir erweitern unsere Ergebnisse darüber hinaus mit theoretischen Abschätzungen und beweisen Fehlerschranken für die implizite Euler-Zeitschrittmethode. Wir beginnen mit einfachen Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen. Darauf folgt eine Analyse zweier Diffusionsgleichungen, die über eine gemeinsame Schnittstelle gekoppelt sind und über verschiedene Wärmeleitkoeffizienten skaliert werden. Als letztes Problem betrachten wir ein analoges System von Stokes-Gleichungen sowohl im semi-diskreten als auch im gänzlich diskreten Fall. Die Schätzungen für das Stokes-Problem werden mit Hilfe einer speziellen, neu definierten Norm bewiesen, welche auf den Kopplungsbedingungen aufbaut.