U-statistics for detecting and estimating changes in weakly dependent functional data

Abstract

Change-point detection is an important field in time series analysis. As early as the 1950s, it starts with the question whether there is a change in a given time series. Depending on the setting this may for example be a change in the underlying distribution, in mean, variance or correlation. A further step may be to identify the time at which the change occurs. More recently, change-point analysis for highdimensional and dependent data became important, as more of such data is available and computational power allows for dealing with it. This thesis consists of two main chapters. In the beginning of the first chapter, the concepts of weakly dependent and functional data are explained. Then, a Ustatistic (where U stands for unbiased) for testing the hypothesis of no change is introduced for such data. Subsequently, asymptotic results for this statistic in the presence and absence of a change-point are given. Under the assumption of no change, the limit distribution of the test statistic is established. Since it contains an infinite covariance operator, a bootstrap procedure is introduced for practical applications. In a simulation study, the performance of the new test statistic is compared to the well established cumulated sum statistic (CUSUM). Special attention is paid to scenarios were the data shows outliers or stems from a heavy tailed distribution. The first chapter closes with a real world example and a test for a change in environmental data. The second chapter deals with the task of estimating the time and the direction of change under the assumption of an unknown change-point. A consistent estimator for the time of change is presented. This consistency does not only hold for fixed magnitudes of change but also if the magnitude of the change vanishes in the long run at a certain rate. Given the consistent estimator of the time of change, an estimator for the direction of change can be constructed, using the spatial median of the data. The theoretical results are again supported by a simulation study, investigating similar scenarios as in the first chapter. Finally, the example of environmental data of the first chapter is revisited and time and direction of change are estimated for it.

Das Erkennen von Change-Points ist ein wichtiger Teilbereich der Zeitreihenanalyse. Bereits in den 1950er Jahren kamen die ersten Teststatistiken auf, mit deren Hilfe eine Zeitreihe auf Change-Points untersucht werden kann. Je nach Fragestellung kann es an einem Change-Point unter anderem zu einer Veränderung der zugrundeliegenden Verteilung oder einer Veränderung in Erwartungswert, Varianz oder Korrelation kommen. Der nächste Schritt kann dann sein, den Zeitpunkt der Veränderung zu identifizieren. In jüngerer Vergangenheit nimmt die Bedeutung von Change-Point Analysen hochdimensionaler und abhängiger Daten zu, auch weil mehr solcher Daten verfügbar sind und sich mit steigender Rechenleistung untersuchen lassen. Die vorliegende Arbeit besteht aus zwei Kapiteln. Zu Beginn des ersten Kapitels werden die Konzepte von schwacher Abhängigkeit und funktionalen Daten erklärt. Eine U-Statistik (U steht für unbiased) wird eingeführt, die für solche Daten beim Testen der Hypothese, dass keine Veränderung vorliegt, genutzt werden kann. Anschließend werden asymptotische Ergebnisse für die Statistik unter der Annahme des Vorliegens und Nichtvorliegens eines Change-Points dargestellt. Unter der Annahme, dass kein Change-Point vorliegt, wird die Grenzverteilung der Teststatistik bestimmt. Da diese einen unendlich-dimensionalen Kovarianzoperator enthält, wird ein Bootstrap-Verfahren für die praktische Nutzung eingeführt. In einer Simulationsstudie wird das Verhalten der neuen Teststatistik mit dem der bewährten Cumulated-Sum-Statistik (CUSUM) verglichen. Insbesondere werden Szenarien betrachtet, in denen die Daten Ausreißer enthalten oder von einer Verteilung mit schweren Rändern stammen. Das erste Kapitel schließt mit einem realen Beispiel von Umweltdaten und einem darauf angewandten Hypothesentest auf einen Change-Point. Das zweite Kapitel beschäftigt sich unter der Annahme eines vorliegenden Change- Points mit der Aufgabe, den Zeitpunkt und die Richtung der Veränderung zu schätzen. Für den Zeitpunkt wird ein konsistenter Schätzer präsentiert. Diese Konsistenz gilt nicht nur für feste Veränderungsgrößen, sondern auch, wenn die Größe der Veränderung langfristig mit einer bestimmten Rate verschwindet. Mit Hilfe des konsistenten Schätzers für den Zeitpunkt der Veränderung und der Nutzung des Spatial Median kann ein Schätzer für die Richtung der Veränderung konstruiert werden. Die theoretischen Ergebnisse werden wiederum durch eine Simulationsstudie gestützt, in der ähnliche Szenarien wie im ersten Kapitel untersucht werden. Schließlich wird das Beispiel der Umweltdaten aus dem ersten Kapitel wieder aufgegriffen, und es werden Zeit und Richtung der Veränderung geschätzt.