A locally modified finite element method for two-phase flow problems

Abstract

In this thesis, we extend the locally modified finite element method, which is introduced in [47], to second order in two space dimensions. The method is based on a fixed patch mesh, which is then refined into sub-elements, to resolve an interface locally. The splitting into sub-elements is slightly different from the one presented in [47] and leads in general to a better bound for the maximal angles within the triangles. We begin in the stationary case by analysing a locally modified second order finite element method applied to elliptic interface problems. We prove some auxiliary estimates in order to control the mismatch between continuous and discrete bilinear forms and then show an optimal a priori error estimates in the L2-norm and in the discrete energy norm. Furthermore, we study two-phase flow problems and show stability. For the discretization of the stationary Stokes interface problem, we apply a locally modified second order finite element scheme for the velocity and piecewise constant elements for the pressure. The technique used to check the inf-sup stability is a macroelement technique, which is tested by checking local stability and a relatively simple global stability. For that we use a two-level family of meshes, i.e. micro- and macrotriangulation. First, we show the stability locally for each macroelement by constructing a Fortin operator. There is only one rare case, where the macroelement is not stable and we must add further stabilization terms. Second, we define a subspace by introducing an appropriate projection and show the stability of the subspace. With the macroelement approach, we prove a discrete inf-sup condition for the P2 − P0 element and present optimal error estimations. Moreover, we consider Stokes interface problems with surface tension. In the variational formulation of these problems, we use a linear functional which describes the surface tension force. This functional depends on the location and the curvature of the interface. To handle the curvature, we apply a Laplace-Beltrami operator. Compared to one-phase flows, two-phase flows with a surface tension force have very high numerical complexity. Thus, we use the Rothe method. For time discretization, we use the implicit Euler method for the unsteady Stokes problem combined with a semi-implicit time integration of the surface tension force. For spatial discretization, we use the locally modified second order finite element method. In the final part of the thesis, we study a fluid-structure-interaction problem. We consider a rigid body model for falling particles and an unsteady Stokes problem for the fluid model. For spatial discretization, we use the locally modified finite element scheme and the implicit Euler method for time discretization. To evaluate the solution on the new spatial mesh, we use the discrete Stokes projection. We present detailed numerical studies for all three applications including a numerical convergence analysis.

In dieser Arbeit erweitern wir die in [47] eingeführte lokal modifizierte Finite-Elemente- Methode auf die zweite Ordnung in zwei Raumdimensionen. Die Methode basiert auf einem fest strukturierten groben Gitter, das dann in Unterelemente verfeinert wird, um das Interface lokal aufzulösen. Die Aufteilung in Unterelemente unterscheidet sich von der in [47] vorgestellten und das führt zu einer besseren Begrenzung für der maximale Winkel des Dreiecks. Zunächst betrachten wir den stationären Fall und analysieren eine lokal modifizierte Finite-Elemente-Methode zweiter Ordnung für elliptische Interface-Problems. Wir beweisen einige Hilfs-Abschätzungen, um den Unterschied zwischen kontinuierlichen und diskreten bilinearen Formen zu kontrollieren. Dann zeigen wir optimale a priori-Fehlerschätzungen in der L2-Norm und in der diskreten Energie-Norm. Weiterhin untersuchen wir Zweiphasenströmungsprobleme und zeigen die Stabilität. Für die Diskretisierung des stationären Stokes-Interface-Problems verwenden wir lokal modifizierte Finite-Elemente-Schemata zweiter Ordnung für die Geschwindigkeit und stückweise konstante Elemente für den Druck. Um die inf-sup Stabilität zu überprüfen, verwenden wir die Makroelementtechnik, die durch die lokale Stabilität und eine relativ einfache globale Stabilität getestet wird. Dafür verwenden wir eine zweistufige Familie von Gittern, d.h. eine Mikro- und Makrotriangulation. Zunächst zeigen wir die lokale Stabilität für jedes Makroelement durch Konstruktion des Fortin-Operators. Es gibt nur einen seltenen Fall, in dem das Makroelement nicht stabil ist. Wir müssen in diesem Fall einen Stabilisierungsterm hinzufügen. Zweitens definieren wir einen Unterraum durch eine geeignete Projektion und zeigen die Stabilität des Unterraums. Mit Hilfe der Makroelementtechnik beweisen wir die diskrete Inf-Sup-Bedingung für die P2 − P0-Elemente und präsentieren die optimalen Fehlerschätzungen. Darüber hinaus betrachten wir die Stokes-Interface-Probleme mit der Oberflächenspannung. Bei der Variationsformulierung dieser Probleme verwenden wir ein lineares Funktional, das die Oberflächenspannungskraft beschreibt. Dieses Funktional hängt von dem Ort und der Krümmung des Interfaces ab. Daher wenden wir einen Laplace-Beltrami-Operator an, um die Krümmungsterm zu behandeln. Im Vergleich zu Einphasenströmungen haben Zweiphasenströmungen mit Oberflächenspannungskräften eine sehr hohe numerische Komplexität. Deswegen wenden wir die Rothe-Methode an. Für die Zeitdiskretisierung verwenden wir die implizite Euler-Methode für das instationäre Stokes-Problem in Kombination mit einer semi-impliziten Zeitintegration der Oberflächenspannungskraft. Für die räumliche Diskretisierung verwenden wir die lokal modifizierte Finite-Elemente-Methode zweiter Ordnung. Im letzten Teil dieser Arbeit betrachten wir ein Fluid-Struktur-Interaktionsproblem. Wir betrachten ein Starrkörpermodell für fallende Partikel und ein instationäres Stokes Problem für das Fluidmodel. Für die örtliche Diskretisierung verwenden wir das lokal modifizierte Finite-Elemente-Schema zweiter Ordnung und für die Zeitdiskretisierung das implizite Euler-Verfahren. Um die Lösung auf dem neuen räumlichen Gitter zu bewerten, entwickeln wir die diskrete Stokes-Projektion. Wir präsentieren detaillierte numerische Studien für alle drei Anwendungen, einschließlich einer numerischen Konvergenzanalyse.